Annexes : "Foire aux Questions"

Q : Une fractale,ou un fractal?

R : Le terme fractal(e) vient du latin fractus (qui a également donné fraction et fracture). Bien que le concept soit,comme nous l'avons dit ultérieurement, assez ancien,le mot date de la moitié du XXe siècle et apparaît pour la première fois dans le livre de Benoit Mandelbrot : Fractals : Form,Chance and Dimension. Ce nom était tout d'abord utilisé comme adjectif dans l'expression "objet fractal". De la même façon que pour l'"après-midi", on peut dire "une fractale" ou "un fractal".

Q : Qu'est ce que le "In" dans la formule de calcul des dimensions fractales : ?

R : In est l'abréviation pour désigner le logarithme népérien. Il est appellé ainsi en au mathématicien écossais John Napier qui est à l'origine des premières tables logarithmiques en mathématiques. Pour comprendre la présence d'In,il faut comprendre le calcul de la dimension fractale. Comme explcité dans la partie 2 du chapitre 1,la plupart des objets fractals n'ont pas de dimension fractale.

• Soit un objet de dimension 1 ( un segment,un trait...). Mesurons le avec un étalon d'une longueur x (peu importe la quelle). Nous trouverons alors une longueur y. Alors, si nous faisons la même chose,mais avec un étalon de longueur x/2 : nous trouverons alors une longueur y*2.

• La même pour un objet de dimension 2 ( le plan ), avec un étalon x mesurant une longueur y ; mais cette fois, si l'étalon a une longueur x/2 , nous trouverons une longueur qui sera y*4

• Pour un objet de dimension 3 ( l'espace ), si l'étalon a une longueur x/2 , la longueur sera y*8

Maintenant ,généralisons encore la chose : appelons le coefficient diviseur de x ( qui en l'occurence était 2) "h", et le coefficient multiplicateur de y ( 2 pour un objet de dimension 1, 4 pour un objet de dimension 2, 8 pour un objet de dimension 3) n.

Nous voyons donc, que pour déterminer la dimension d'un objet, il faut déterminer d , dans h^d= n

Pour l'exemple, revenons sur le cas de l'objet de dimension 2, en faisant semblant de chercher sa dimension. Mesuré avec un étalon de longueur x/2 ayant une longueur de y*4. On a donc h = 2, et y = 4 . Nous obtenons alors comme équation :

2^d= 4

d=2

L'objet a donc 2 dimension. Ici,c'est très facile,la réponse est assez évidente. Mais dans les cas des fractales, comme par exemple,le triangle de Sierpinski. A chaque étape de réduction,on obtient 3 fois le motif original... réduit 2 fois. On aura alors n = 3 , et h = 2,et donc comme équation :

2^d= 3

La réponse est bien sur bien moins évidente. Et c'est donc ici que "In" entre en jeu : 

In(2^d)=In(3)

ln permet de faire passer l'exposant en tant que facteur,rendant l'équation alors facile à résoudre :

d* In(2)=In(3)

d=In(3)/In(2)

On obtient donc comme solution d  ≈ 1.5849625

Vous remarquerez que la dimension fractale n'est pas entière.